Lista 4: Niezależność i lemat Borela-Cantellego
Zadania na ćwiczenia: 2025-03-17
Zadania do samodzielnego rozwiązania
- Maciek rzuca dwiema kośćmi. Pierwsza kość jest dobrze wyważona.
Na drugiej szóstka wypada dwa razy częściej niż pozostałe liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że suma oczek będzie większa niż 10?
\(5/42\)
- Losujemy jednostajnie punkt \((x,y)\) z kwadratu \([0,1]^2\). Niech
\(A = \{ |x -y|\leq 1/3\}\), \(B = \{x\leq 1/2\}\) oraz \(C = \{ y\geq 1/2\}\).
Czy zdarzenia \(A\), \(B\) i \(C\) są niezależne? Czy są niezależne parami?
Zdarzenia nie są niezależne. Są niezależne parami.
- Niech \(\Omega = [-2,2]\) oraz \(A_n = [(-1)^n-1/n, (-1)^n+1/n]\).
Znajdź \(\limsup_n A_n\)
\(\{-1,1\}\).
- Zdarzenia \(A_1, A_2, \ldots , A_{2025}\) są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo \(p\).
Jaka jest szansa, że zajdzie dokładnie jedno?
\(2025p(1-p)^{2024}\)
- Zdarzenia \(A_1, \dots, A_n, \dots\) są niezależne i mają równe prawdopodobieństwa.
Jaka jest szansa, że zajdzie skończenie wiele zdarzeń \(A_n\)?Niech \(\mathbb{P}[A_k]=p\). Jeżeli \(p>0\), to szukana szansa wynosi zero.
- Rzucono \(10\) razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania
- \(6\) oczek co najmniej raz?
- \(5\) oczek dokładnie \(3\) razy?
- 0.8385, b. 0.155
Zadania na ćwiczenia
Wykonujemy dwa eksperymenty: rzucamy kością, na której liczby parzyste wypadają dwa razy częściej niż liczby nieparzyste (wszystkie parzyste są tak samo prawdopodobne i wszystkie nieparzyste są tak samo prawdopodobne) i losujemy liczbę z przedziału \([0,1]\). Skonstruuj przestrzeń probabilistyczną opisująca wykonanie tych eksperymentów niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma otrzymanych liczb jest mniejsza niż \(5/2\)?
Pokaż, że zdarzenia \(A_1\), …, \(A_n\) są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy \(\sigma\)-ciała \(\mathcal{F}_j=\sigma(A_j) = \{\emptyset, \Omega, A_j, A_j^c\}\) dla \(j \in [n]\) są niezależne.
Niech \(\Omega=[0,1]\), \(\mathcal{F}=\mathcal{B}or(\mathbb{R})\) i \(\mathbb{P}=\lambda_1\) to jednowymiarowa miara Lebesgue’a. Rozważmy zdarzenia \[\begin{align*} A_1& =[0,1/2),\\ A_2 &= [0,1/4)\cup [1/2,3/4), \\ A_3 &= [0,1/8)\cup[2/8, 3/8)\cup[4/8,5/8)\cup[6/8,7/8), .... \end{align*}\] Pokaż, że zdarzenia \(\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) są niezależne.
Student musi poprawić oceny niedostateczne z dwóch przedmiotów. Szansa poprawienia oceny z pierwszego przedmiotu w jednej próbie wynosi \(p\), a z drugiego — \(q\). Żeby móc poprawić drugą ocenę, trzeba najpierw poprawić pierwszą. Poszczególne próby poprawiania są niezależne. Wiadomo, że po piętnastu próbach poprawiania oceny student jeszcze nie poprawił oceny z drugiego przedmiotu. Jaka jest szansa – pod tym warunkiem – że nie poprawił jeszcze oceny z pierwszego przedmiotu?
Rzucamy \(2n\) razy symetryczną monetą. Niech \(O_{2n}\) (odpowiednio \(R_{2n}\)) oznacza liczbę orłów (odpowiednio reszek). Dla ustalonego \(k\) obliczyć
\[ \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(|O_{2n} - R_{2n}| \leq 2k). \]Niech \(A_n\) będą zdarzeniami niezależnymi, przy czym \(\mathbb{P}(A_n) = p_n \in (0,1)\). Wykaż, że zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń \(A_n\) wtedy i tylko wtedy, gdy z prawdopodobieństwem 1 zachodzi nieskończenie wiele zdarzeń \(A_n\).
Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą, w której orzeł wypada z prawdopodobieństwem \(p \geq 1/2\). Niech \(A_n\) oznacza zdarzenie, że pomiędzy rzutem \(2^n\) a \(2^{n+1}\) otrzymano ciąg \(n\) kolejnych orłów. Pokaż, że zdarzenia \(A_n\) z prawdopodobieństwem \(1\) zachodzą nieskończenie wiele razy.
-
Niech \(\{A_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) będzie ciągiem zdarzeń.
- Pokaż, że jeśli \(\mathbb{P}(A_n) \to 0\) oraz \[ \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n^c \cap A_{n+1}) < \infty, \] to \[ \mathbb{P}(\limsup_n A_n) = 0. \]
- Znajdź przykład ciągu zdarzeń \(A_n\), do którego można zastosować wynik z punktu a, ale nie można zastosować lematu Borela-Cantellego.