Lista 12: Zbieżność

Zadania na ćwiczenia: 2025-05-26

Lista zadań w formacie PDF

Zadania do samodzielnego rozwiązania

1. Niech \(\Omega = [0,1]\), \(\mathcal{F}=\mathcal{B}or([0,1])\) i \[\mathbb{P} = \frac 13\delta_0 + \frac 13\delta_{1/3} + \frac 13 \delta_1.\] Rozważmy \(X(\omega) = 0\), \(Y(\omega) = \mathbf{1}_{\{1\}}(\omega)\) oraz \(Z(\omega) = \mathbf{1}_{[1/2,1)}(\omega)\).

   1. Czy \(X=Y\) p. n?
   2. Czy \(X=Z\) p. n?

1. nie, b. tak

2. Nech \(\Omega =\mathbb{R}\) i \(\mathcal{F}=\mathcal{B}or(\mathbb{R})\). Rozważmy \(X_n(\omega) = \cos(\omega)^n\). Zbadaj zbieżność prawie na pewno ciągu \(\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) jeżeli

1. \(\mathbb{P}\) jest jednowymiarową miarą Lebesgue’s obciętą do odcinka \([0,1]\).
2. \(\mathbb{P}\) jest rozkładem normalnym o średniej zero i wariancji \(1\).
3. \(\mathbb{P} = \sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}\delta_{k\pi}\).
4. \(\mathbb{P} = \sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}\delta_{2k\pi}\).

1. i b. ciąg jest zbieżny do zera p.n. c. ciąg nie jest zbieżny p.n. d. ciąg jest zbieżny do \(1\) p.n.

3. Rozważmy zmienne losowe \(X\), \(Y\) i \(Z\). Pokaż, że jeżeli \(X=Y\) p.n. oraz \(Y=Z\) p.n, to \(X=Z\) p. n.

Niech \[\begin{equation*} A = \{ \omega \: : \: X(\omega) = Y(\omega)\} \end{equation*}\] oraz \[\begin{equation*} B = \{ \omega \: : \: Y(\omega) = Z(\omega)\}. \end{equation*}\] Z założenia \(\mathbb{P}[A] = \mathbb{P}[B]=1\). Dla \(\omega \in A\cap B\), \[\begin{equation*} X(\omega) = Y(\omega) = Z(\omega) \end{equation*}\] przy czym \(\mathbb{P}[A\cap B]=1\).

4. Niech \(\{X_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych taki, że \(X_{2n}\) ma rozkład \(\mathrm{Exp}(1)\), a \(X_{2n+1}\) ma rozkład \(\mathrm{Pois}(3)\). Znajdź granicę według prawdopodobieństwa \[\begin{equation*} \frac{X_1+X_2+ \ldots + X_n}{n}. \end{equation*}\]

2

5. Niech \(X_n \to^\mathbb{P} X\) oraz \(Y_n \to^\mathbb{P} Y\) i załóżmy, że \(X=Y\) p.n. Pokaż, że \(X_n-Y_n \to^\mathbb{P} 0\).

Mamy \[\begin{equation*} \mathbb{P}[|X_n-Y_n|>\epsilon] \leq \mathbb{P}[|X_n-X|>\epsilon/2] + \mathbb{P}[|Y_n-Y| >\epsilon/2]. \end{equation*}\]

Zadania na ćwiczenia

7. Pokaż, że jeżeli \(X_n \to^\mathbb{P}X\) oraz \(X_n \to^{\mathbb{P}} Y\), to \(X = Y\) p.n.

8. Pokaż, że jeżeli \(\vec{X}_n \to^\mathbb{P} \vec{X}\) i \(\vec{Y}_n \to \vec{Y}\), to \(a\vec{X}_n+b\vec{Y}_n \to a\vec{X}+b\vec{Y}\) dla dowolnych rzeczywistych \(a, b\).

9. Załóżmy, że \(\sigma\)-ciała \(\{\mathcal{F}_n\}_{n\in \mathbb{N}}\) są niezależne. Pokaż, że jeżeli \(X\) jest zmienną losową \(\mathcal{F}_\infty\)-mierzalną, to \(\mathbb{P}[X=c]=1\) dla pewnej stałej \(c\in \mathbb{R}\).

10. Dany jest ciąg \(\{X_n\}\) niezależnych zmiennych losowych, przy czym dla \(n \geq 1\) zmienna \(X_n\) ma rozkład zadany przez \(\mathbb{P}[X_n = n] = \frac{1}{n} = 1 - \mathbb{P}[X_n = 0]\). Czy ten ciąg jest zbieżny p.w.? Czy jest zbieżny według prawdopodobieństwa? Czy jest zbieżny w \(L^p\)?

11. Niech \(X_1, X_2, \ldots\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi, które mają rozkład jednostajny na przedziale \([0, 1]\). Udowodnij, że \[ \mathbb{E} \left[ \sum_{k=1}^{n} X_k^2 \left( \sum_{k=1}^{n} X_k \right)^{-1} \right] \to \frac{2}{3}. \]

12. Załóżmy, że \(\vec{X}_n \to^\mathbb{P} \vec{X}\).

    1. Pokaż, że dla każdego \(\epsilon>0\) istnieje \(T>0\) takie, że \[\begin{equation*} \sup_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{P}\left[\left\| \vec{X}_n\right\|>T\right] <\epsilon. \end{equation*}\]
    2. Pokaż, że jeżeli \(f \colon \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^k\) jest funkcją ciągłą, to \(f(\vec{X}_n) \to^\mathbb{P} f(\vec{X})\).

13. Niech \(\{X_n\}_n\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że \(X_n\) ma rozkład Poissona z parametrem \(n\). Pokaż, że \[\begin{equation*} \frac{X_n}{n} \to 1. \end{equation*}\]

14. Niech \(X_n(\omega)= \mathbf{1}_A([n\omega])\), gdzie \(A\) to zbiór kwadratów liczb naturalnych. Pokaż, że zbiega według miary ale nie zbiega p.n. wskaż podciąg zbieżny p.n.

Zadania dodatkowe

15. Niech \((X_n)_{n \geq 1}\) będzie ciągiem zmiennych losowych. Niech \(S_n=X_1+\ldots + X_n\). Udowodnij, że:

1. Jeżeli \(X_n \to 0\) p. n, to \(S_n/n \to 0\) p.n.
2. Ogólnie, \(X_n \to^\mathbb{P} 0\) nie implikuje \(S_n/n \to^{\mathbb{P}} 0\)
3. \(S_n/n \to 0\) p.n. wtedy i tylko wtedy, gdy \(S_n/n \to^\mathbb{P} 0\) oraz \(S_{2n}/2^n \to 0\) p.n.

1. Niech \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) będzie przestrzenią probabilistyczną, na której \(X_n \to^\mathbb{P} X\). Udowodnij, że jeśli \(\Omega\) jest przeliczalna, to \(X_n \to X\) p.n.

2. Niech \((X_n)_{n \geq 1}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, dla którego \(X_n \to^\mathbb{P} X\), gdzie \(X\) jest pewną zmienną losową. Udowodnij, że \(X\) musi być zmienną losową zdegenerowaną.